Исследование функции и построение графика функции
Как построить график функции?
1.Нахождение области определения функции
Определение интервалов, на которых функция существует.
. Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут .
2.Нули функции
Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.
3.Четность, нечетность функции
Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат.
4.Промежутки знакопостоянства
Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале — график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна — график ниже оси абсцисс.
к содержанию ↑5. Промежутки возрастания и убывания функции.
Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной.
Производная положительна — график функции возрастает, отрицательна — убывает.
6. Выпуклость, вогнутость.
Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна — график функции выпукл вверх. Отрицательна — график функции выпукл вниз.
7. Наклонные асимптоты.
Пример исследования функции и построения графика №1
Пример исследования функции и построения графика №2
Пример исследования функции и построения графика №3
Пример исследования функции и построения графика №4
Пример исследования функции и построения графика №5
Пример исследования функции и построения графика №6
Пример исследования функции и построения графика №7
Пример исследования функции и построения графика №8
Пример исследования функции и построения графика №9
Пример исследования функции и построения графика №10
Пример исследования функции и построения графика №11
Пример исследования функции и построения графика №12
Пример исследования функции и построения графика №13
Пример исследования функции и построения графика №14
Пример исследования функции и построения графика №15
Пример исследования функции и построения графика №16
Пример исследования функции и построения графика №17
Пример исследования функции и построения графика №18
Пример исследования функции и построения графика №19
Пример исследования функции и построения графика №20
Пример исследования функции и построения графика №21
Пример исследования функции и построения графика №22
Пример исследования функции и построения графика №23
Пример исследования функции и построения графика №24
Пример исследования функции и построения графика №25
Пример исследования функции и построения графика №26
Пример исследования функции и построения графика №27
Построение графика функции методом дифференциального исчисления
Существует способ построения графика функции, основанный на аналитическом исследовании функции. Исследование проводится по следующей примерной схеме:
1) выяснение области определения функции;
2) решается вопрос о четности или нечетности функции;
3) исследуется периодичность функции;
4) находят точки пересечения кривой с осями координат;
5) находят точки разрыва функции и определяют их характер;
6) проводят исследования на экстремум, находят экстремальные значения функции;
7) ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой;
8) отыскание асимптот кривой;
9) полученные результаты наносят на чертеж и получают график исследуемой функции.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Правила ввода функции
- Примеры
≡ x 2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi)) 2
≡ x+(x-1) (2/3)
2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x) , и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞. 3) Функция не периодическая.
4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат. 5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая – вертикальная асимптота.
6) Находим и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)). В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.
Найти первую производную функции Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения. 7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб.
Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞). Найти вторую производную функции 8) Выясним вопрос об асимптотах.
Наличие вертикальной асимптоты установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты: , , следовательно, y=-x – наклонная двусторонняя асимптота.
9) Теперь, используя полученные данные, строим чертеж:
Упростить логическое выражение
к содержанию ↑Урок 5: Построение графика квадратичной функций: алгоритм и примеры
- Видео
- Тренажер
- Теория
Построение графика квадратичной функции с помощью преобразований.
В одной системе координат построим графики функций y = 1 2 x 2 и y = 1 2 x 2 + 5 .
Составим таблицу значений функции: y = 1 2 x 2
Чтобы получить таблицу значений для функции y = 1 2 x 2 + 5 для тех же значений аргумента, необходимо к найденным значениям функции y = 1 2 x 2 прибавить 5.
Получается, что каждую точку второго графика можно получить из некоторой точки первого графика с помощью параллельного переноса на 5 единиц вверх вдоль оси y.
График функции y = 1 2 x 2 + 5 – парабола, полученная в результате сдвига вверх графика функции y = 1 2 x 2 .
График функции y = ax 2 + n – парабола, которую можно получить из графика функции y = ax 2 с помощью параллельного переноса вдоль оси y на n единиц вверх, если n > 0 или на – n единиц вниз, если n y = 1 2 x 2 и y = 1 2 x — 5 2 . Составим таблицы значений для этих функций.
Значит, если переместить каждую точку графика y = 1 2 x 2 вправо на 5 единиц, то получим соответствующую точку графика функции y = 1 2 x — 5 2 . Иначе говоря, каждую точку второго графика можно получить из соответствующей точки первого графика с помощью параллельного переноса на 5 единиц вправо вдоль оси x.
График функции y = 1 2 x — 5 2 – парабола, полученная y = 1 2 x — 5 2 в результате сдвига вправо графика функции y = 1 2 x 2 .
График функции y = a(x — m) 2 – парабола, которую можно получить из графика функции y = ax 2 с помощью параллельного переноса вдоль оси x на на m единиц вправо, если m > 0 или на – m единиц влево, если m 2 . Например, график функции y = 1 2 x — 5 2 + 3 можно получить из графика функции y = 1 2 x 2 с помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси x на 5 единиц вправо и вдоль оси y на 3 единицы вверх.
Таким образом, график функции y = a(x — m) 2 можно получить из параболы y = ax 2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль x на m единиц вправо, если m > 0 или на – m единиц влево, если m 0 или на – n единиц вниз, если n 2 — 4x двумя способами: с помощью преобразований, которые мы сегодня рассмотрели и с помощью таблицы значений функции.
Для того, чтобы построить график функции с помощью преобразований, необходимо его представить в виде y = a(x — m) 2 . Для этого надо выделить полный квадрат. Итак, в нашу функцию y = x 2 — 4x добавим 4 и вычтем 4. Получим:
y = x 2 — 4 x + 4 — 4 = x — 2 2 — 4
График данной функции можно получить из графика функции y = x 2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси x на 2 единицы вправо, и сдвига вдоль оси y на 4 единицы вниз.
Чтобы построить график функции вторым способом, составим таблицу ее значений. Возьми нечетное количество точек, например, пять и семь. В центре поставь координаты вершины параболы.
x в = — b 2 a = — — 4 2 ∙ 1 = 2
График квадратичной функции симметричен относительно прямой, параллельной оси y, проходящей через вершину параболы. В данном случае прямая x = 2 является осью симметрии.
к содержанию ↑Урок 20. Построение графиков функций
Асимптота графика функции y = f(x) – прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.
Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции.
Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции.
Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).
Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.
Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.
Точка максимума функции. Точку хназывают точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .
Точка минимума функции. Точку х называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .
Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.
Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.
Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2 , из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит вышепроведенного отрезка.
Полная схема построения графика функции:
- Найти область определения функции D(f).
- Исследовать функцию на четность (найти f(-x)).
- Найти асимптоты.
- Найти стационарные и критические точки.
- Найти промежутки монотонности.
- Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз.
- Найти точки перегиба
- Составить таблицу значений функции для некоторых точек.
- По полученным данным построить график функции.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Постройте график функции у = х 3 – 3х + 3, используя краткую схему построения. схему построения.
2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.
4) f’(x) = 3x 2 – 3, f’(x) = 0 при х = 1, х = -1.
х = 1, х = -1 – стационарные точки.
5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.
6) Так как в точке х = -1 производная меняет знак с «+» на «-», то х = -1 – точка максимума.
Так как в точке х = 1 производная меняет знак с «-» на «+», то х = 1 – точка минимума.
7) Результаты исследования представим в виде таблицы.
Следующая